Grafos Bipartitos

¿Qué es un grafo bipartito?

Un grafo es bipartito si puedes dividir sus nodos en dos grupos (A y B) de modo que todas las aristas van de un grupo al otro (nunca dentro del mismo grupo).

Analogía: Piensa en un baile donde hay hombres y mujeres. Si solo se forman parejas hombre-mujer, la red de parejas es un grafo bipartito.

Grupo A: {1, 3, 5}     Grupo B: {2, 4, 6}

1 --- 2
|     |
3 --- 4
|     |
5 --- 6

Verificar si es bipartito: coloración con BFS

Intenta colorear el grafo con 2 colores. Si en algún momento un vecino ya tiene el mismo color, no es bipartito.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

vector<int> adj[100005];
int color[100005];  // -1 = sin color

bool esBipartito(int inicio) {
    queue<int> q;
    q.push(inicio);
    color[inicio] = 0;

    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        for (int v : adj[u]) {
            if (color[v] == -1) {
                color[v] = 1 - color[u];
                q.push(v);
            } else if (color[v] == color[u]) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    fill(color, color + n + 1, -1);

    bool bipartito = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (color[i] == -1) {
            if (!esBipartito(i)) {
                bipartito = false;
                break;
            }
        }
    }

    cout << (bipartito ? "Es bipartito" : "No es bipartito") << endl;
    return 0;
}

Propiedad: Un grafo es bipartito si y solo si no tiene ciclos de longitud impar.

Ejercicio de práctica

Dado un grafo, determina si es bipartito. Si sí, imprime los dos grupos.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;

vector<int> adj[100005];
int color[100005];

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v; cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }

    fill(color, color + n + 1, -1);
    bool ok = true;

    for (int i = 1; i <= n && ok; i++) {
        if (color[i] != -1) continue;
        queue<int> q;
        q.push(i);
        color[i] = 0;
        while (!q.empty() && ok) {
            int u = q.front(); q.pop();
            for (int v : adj[u]) {
                if (color[v] == -1) {
                    color[v] = 1 - color[u];
                    q.push(v);
                } else if (color[v] == color[u]) {
                    ok = false;
                }
            }
        }
    }

    if (!ok) {
        cout << "No es bipartito" << endl;
    } else {
        cout << "Grupo 0: ";
        for (int i = 1; i <= n; i++) if (color[i] == 0) cout << i << " ";
        cout << endl << "Grupo 1: ";
        for (int i = 1; i <= n; i++) if (color[i] == 1) cout << i << " ";
        cout << endl;
    }
    return 0;
}